Arhivă blog

marți, 28 iunie 2016

Literatura şi matematica

 Literatura şi matematica


Unirea matematicianului cu poetul, înflăcărarea cu măsură, pasiunea cu exactitate, acesta este cu siguranță idealul.”

Timp de secole, a existat o legătură între matematică și arte, inclusiv literatură. Această conexiune se încearcă a fi introdusă la copii ca parte a unui curriculum eficient, prin acordarea unei mai mari atenții față de curriculum integrat, în special introducerea de literatură în instruirea matematică.
O mare parte din raționamentul ce stă în spatele unei astfel de integrări este intuitiv. Există dovezi că copii au mai mult succes în învățarea și înțelegerea unor materiale atunci când sunt prezentate într-un mod care este semnificativ pentru ei.
Oferind oportunități variate de investigare, cărțile sprijină cititorii în dezvoltarea atitudinilor sănătoase cu privire la activitatea matematică. Nu orice carte va fi adecvată pentru îmbunătățirea unei lecții de matematică iar literatura nu ar trebui să fie manipulată pentru a se potrivi în mod obligatoriu scopului lecției.
Ar trebui să existe o relaţie organică între cartea aleasă pentru a sprijini o lecție și lecția în sine. Cercetătorii și educatori au dezvoltat criterii pentru selectarea literaturii care poate fi integrată eficient în instruire matematică. În mod ideal, carţile de literatură pentru copii ar trebui să aibă context autentic, care include experienţe de viaţă, episoade personale sau culturale.

Cum selectăm literatura ideală pentru a îmbunătăți pregătirea matematică?

Matematica nu este numai conectarea unor numere într-un algoritm sau folosirea unui calculator pentru a găsi o soluție şi nici un set de reguli de memorat. Matematica este gândire și raționa- ment, rezolvare de probleme, realizare de conexiuni, precum și capacitate de a comunica idei matematice. În figura de mai jos avem o scară pentru a determina eficacitatea cărților comerciale folosite ca parte a lecţiilor de matematică.

Prezintă informații concrete inprecise;
utilizează o terminologie sau principii incorecte,
sau ambele.
Acuratețe
Prezintă informaţii precise; ilustrare corectă a
relaţiilor.






Formatul și prezentarea sunt învechite;
cartea este copleșită de matematică.
Mesaj vizual şi verbal
Atât formatul cât și prezentarea sunt vizual și verbal atrăgătoare.






Noţiuni matematice  izolate; conexiunile sunt greu de găsit.
Conexiuni
Oferă un context pentru elevi de a face conexiuni între
matematică și propriile experiențe.






Ținteşte un anumit public fără un
interval de vârstă sau anumite abilităţi.
Audiență
Prezintă concepte într-un mod care face apel
la un anumit public si necesitatea existenţei unor abilităţi.






Conţine puţin sau nimic în afara  așteptărilor; nu are surprize.
Factorul „Uau”
Oferă acţiuni dincolo de previzibil sau de așteptări;
opinii interesante  sau idei noi.









Ca şi criterii care ar trebui să fie luate în considerare atunci când se alege literatură pentru instruirea matematică putem enumera:
  • Integritatea matematică: Componentele matematice ale cărții sunt corecte. În ficțiune, matematica reflectă utilizarea funcțională în contexte credibile. Ideile și conceptele în toate genurile sunt accesibile cititorului. Tonul cărții
    promovează atitudini matematice sănătoase.
  • Potențial de răspuns variat: Tonul cărții este invitaţional, mai degrabă decât didactic.
  • O dimensiune estetică: Cartea sporește conștientizarea cititorului și aprecierea formei și design-ului. Limba și/sau ilustrațiile fac apel la simțurile și emoțiile cititorului. Designul și formatul graficii informaționale (de exemplu, grafice, tabele) sunt vizual plăcute și incită interesul  tinerilor cititori.
  • Etnice, de gen și incluziune culturală: Conținutul, limba și ilustrațiile promovează echitatea rasială, culturală și de gen. Nu există cazuri de stereotipuri. Reprezentările culturale sunt autentice.

În cele din urmă, important este efortul de cooperare a profesorului sau părintelui cu elevii pentru a selecta și utiliza literatură în scopul îmbunătățirii abilităților matematice și de înțelegere. Anumite cărți vor fi mai potrivite pentru anumite lecții și altele pentru anumiţi copii. Literatura introdusă în sala de clasă la orele de matematică pune în procesul natural de comunicare, nu numai îmbunătățirea competențelor lingvistice ale elevilor, dar duce şi la dobândirea de competenţe în înțelegerea matematicii. Cu cât avem mai multă literatură disponibilă inclusă în lecțiile de matematică, cu atât criteriile pentru selectarea cărților utile şi necesare sunt instrumente de nepreţuit. Odată ce au fost selectate cărțile potrivite, există multe moduri în care de această uniune dintre literatură și matematicăbeneficieze elevii.
Comunicarea este una dintre competențele de bază în educația matematică. Literatura aduce în mod natural un mod mai complex de comunicare la matematică pentru că prezintă conceptele matematice în cuvinte, mai degrabă decât în numere.
După încorporarea literaturii în lecțiile de matematică, numeroase cadre didactice afirmă pentru elevii lor a crescut nivelul de confort în a vorbi despre înțelegerea unor concepte de matematică. În plus, profesorii sunt capabili să identifice ce anume nu a înţeles un elev, folosind dialogul.
Efectuarea de conexiuni este un alt proces necesar înţelegerii matematicii. Copiii care înţeleg importanţa studiului matematicii, după ce au citit o carte sunt capabili să recunoască noţiunile matematice utilizate în carte sau în lumea din jurul lor. Un profesor poate cere elevilor să folosească arta, grafice sau modele pentru a demonstra unele dintre enunţurile matematice. Copiii pot face propriile modele care demonstrează de exemplu valoarea unei fracții sau sensul înmulţirii. Motivator pentru o astfel de activitate este de multe ori o poveste distractivă sau de divertisment. În multe cazuri, elevii vor face observații neașteptate, dar care au integritate matematică. Când un profesor salută astfel de observații, procesele și concluziile de gândire ale elevului sunt validate. Elevul este capabil să comunice gândurile lui şi să facă conexiuni în matematică pornind eventual de la experiența lui personală și interacțiunea cu literatura de specialitate.

Utilizarea literaturii acasă pentru îmbunătățirea  abilităților  matematice.

Părinții sunt în măsură să sprijine copilul lor și profesorul de matematică al acestuia prin încorporarea matematicii în activitățile zilnice, cum ar fi activităţi de măsurare, numărare, cumpărături, programare, estimare și comparare. Activitățile de zi cu zi la domiciliu sau la locul de muncă pot furniza oportunități de a explica și demonstra unui copil modul în care se utilizează matematica pentru a îndeplini sarcini aparent simple.
Când părinții împărtășesc cu un copil activități de numărare a banilor, de măsurare a ingredientelor pentru diferite rețete, de estimare a timpului de deplasare la locul de muncă, copilul devine mai conștient de faptul că matematica este aplicabilă în multe activități din viață. Literatura poate adăuga acestor activităţi o latură distractivă. Multe cărți pentru copii au capitole care includ rezolvarea problemelor cu ajutorul probabilităţilor sau prin compararea sumele numerice sau precizarea timpului etc. Părinții care desfăşoară astfel de activităţi de literatură la domiciliu se pot simți mai puternici prin capacitatea lor de a ajuta copilul să învețe matematică într-un mediu de familial de susținere și de distracție. Dupa ce au citit împreună în mod regulat și au discutat conceptele relevante de matematică întâlnite, între părinte și copil se pot descoperi noi conexiuni care să ducă la observarea aplicaţiilor matematice în jurul lor, zi de zi.
Când părinții și profesorii oferă oportunități copiilor de a împărtăși și discuta cărțile citite de ei, copiii sunt motivați să citească mai mult și, prin urmare, să învețe mai mult. Când acest proces se realizează cu mintea îndreptată spre înţelegerea şi consolidarea educaţiei matematice, spre  integrarea curriculumului, cercul devine complet.

***

Matematica şi poezia, două domenii aparent paralele, au de fapt o infinitate de puncte comune. În primul rând, ambele sunt rezultate ale gândirii, amândouă sunt abordări ale lumii înconjurătoare în care ideea de structurare este fundamentală. Ambele presupun un anumit stil, în care corectitudinea exprimării este caracteristica principală. Atât în matematică, cât şi în poezie, întâlnim posibilitatea de a exprima „ceva mult” în „ceva puţin”.
Înţelegerea unei poezii este asemănătoare cu rezolvarea unei probleme din matematică, în reuşita înţelegerii mesajului unei poezii fiind nevoie de o structurare matematică a ideilor.
Aceasta legătură între matematică şi poezie, a fost şi este în continuare un subiect dificil de dezbătut. De-a lungul timpului, au existat dovezi evidente în favoarea acestei legături. Poetul român Ion Barbu, adică matematicianul Dan Barbilian, afirma că există un punct luminos unde poezia se întâlneşte cu geometria: "Oricât ar părea de contradictorii aceşti doi termeni la prima vedere, există undeva, în domeniul înalt al geometriei, un loc luminos unde se întâlneşte cu poezia".
Există şi alte legături prezente în poezia românească. O demonstraţie în acest sens poate fi şi poezia lui George Coşbuc:

Câte ouă vechi şi câte nouă?
Câte nouă, câte vouă?
Vechi sunt nouă, nouă două;
Două nouă, vouă nouă;
Nouă două ouă nouă
Vouă nouă ouă vechi!

Iar influenţa matematicii în gândirea eminesciană este ilustrată în următoarele versuri:

„Iar colo batrînul dascăl, cu-a lui haină roasă-n coate,
Într-un calcul fără capăt tot socoate şi socoate
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Universul fără margini e în degetul cel mic,
Căci sub frunte-i viitorul şi trecutul se încheagă
Noaptea-adînc-a veciniciei el în şiruri o dezleagă;
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Şi din roiuri luminoase izvorând din infinit,
Sunt atrase în viaţă de un dor nemărginit,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Muşti de-o zi pe-o lume mică de se măsoară cu cotul,
În aceea nemărginire ne-nvârtim uitând cu totul.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Unul e în toţi; tot astfel precum una e în toate;
Deasupra tuturora se ridică cine poate.”(„Scrisoarea I”)


I.1. Aplicaţii


Aplicaţia  1:
            Hobbitul (titlu original The Hobbit or There and Back Again) este un roman de fantezie pentru copii scris de J. R. R. Tolkien. A fost publicat pe 21 septembrie 1937, primind multe aprecieri, fiind nominalizat pentru medalia Carnegie și primind un premiu de la “New York Herald Tribune pentru cea mai bună carte de ficțiune pentru copii. Este popular și în zilele noastre și face parte din literatura clasică pentru copii. Problemele de mai jos sunt probleme de matematică inspirate din această carte, personajele din carte propunându-ne rezolvarea acestora.

  1. Cei trei spiriduși Tom, Bert şi William au 123 de monede de aur. Tom are cu 15 monede de aur mai mult decât Bert. Bert are cu 3 monede mai puțin decât William. Câte monede de aur are William? 
  1. Great Goblin are de două ori mai mulți soldați ca vărul său Gross Goblin. Câți soldați trebuie să trimită Great Goblin vărului său, astfel încât aceştia să aibă fiecare câte 1200 de soldați?

  1. Gollum a prins 10 pești mici. A împărțit peștele astfel încât să mănânce 4 prânzuri egale. Câţi pești a mâncat la
    fiecare prânz
    ?
  1. Beorn a copt o pâine mare din făină integrală. A mâncat o treime din pâinea sa (cu o mulţime de miere!), și a dat o jumătate din întraga pâine piticilor și lui Bilbo. Ce fracțiune din pâine a rămas? 
  1. Două treimi din comoara dragonului Smaug conţine obiecte care au fost făcute din aur. O pătrime din restul obiectelor sunt pietre prețioase. Ce fracțiune din comoara dragonului Smaug este reprezentată de pietrele prețioase? 
  1. Arcaşul Bard a adunat o mică armată de 600 de supraviețuitori din orașul Esgaroth, oraş care a fost distrus de balaur. Raportul dintre arcași şi spadasini a fost de 2:3. Câţi arcaşi l-au urmat pe Bard la Muntele Lonely?

Aplicaţia  2:
La şcoală, în cadrul orelor de matematică, am avut de rezolvat probleme de tipul: “Scrieţi încă trei termeni ai şirului 1, 4, 7, 10, 13, ……….”. Vom prezenta un şir mai special şi anume un şir în care primii opt termeni sunt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ………
Ne propunem să mai scriem încă 3 termeni ai şirului. Observăm că al treilea termen (2) este suma celor doi termeni dinaintea lui (1 + 1 = 2), al patrulea termen (3) este suma celor doi termeni dinaintea lui (1 + 2 = 3) şi acelaşi lucru se întâmplă cu oricare alt termen (de exemplu 13 este suma dintre 5 şi 8).
Acest şir este cunoscut în matematică sub numele de şirul lui Fibonacci. Dacă luăm trei termeni care urmează unul după altul (de exemplu 5, 8, 13) şi îi vom numi “ieri”, “azi”, “mâine”. Relaţia dintre termeni este:
“mâine” – “ieri” = “azi” (13 – 5 = 8).
Să reţinem acest lucru! Există o legătură între Mihai Eminescu şi acest şir? Într-una dintre poeziile sale acesta spune:
“Cu mâne zilele-ţi adaogi,
Cu ieri viaţa ta o scazi
Şi ai cu toate astea-n faţă
De-a pururi ziua cea de azi.”
(Cu mâne zilele-ţi adaogi – M. Eminescu)
Observăm că primele două versuri reprezintă diferenţa dintre “mâine” şi “ieri”. Al treilea vers dă semnul egal, iar versul al patrulea este tocmai “azi”. Interesantă legătură dintre matematică şi poezia lui Mihai Eminescu, nu?

Aplicaţia  3:
Pentru a putea cunoaşte primele 11 zecimale ale lui π e suficient să reţii versurile:
”Aşa e uşor a scrie orişicare
Un simbol creat din multe zecimale”
Numărul literelor fiecărui cuvânt dă valoarea lui π=3,14159265358.

Aplicaţia  4:
În 1884 matematicianul şi scriitorul Edwin Abbott  publica o carte numită “Flatland” (Tărâmul Plat). Cartea, iniţial dedicată copiilor, prin care îşi propunea să îi ajute să înţeleagă mai uşor geometria, este o superbă poveste din care adulţii ar avea enorm de învăţat. Este povestea unei lumi bi-dimensionale, populate de figuri geometrice – cercuri, pătrate, triunghiuri, linii drepte, curbe şi multe altele. Într-o zi, armonia lumii Flatland este tulburată de sosirea unui vizitator cu totul neobişnuit – o sferă. Ea îi uimeşte pe locuitorii “Flatland”, care nu puteau percepe decât două dimensiuni – în ochii lor sfera era o fiinţă supranaturală, un cerc ce îşi putea schimba dimensiunea dupa voie (desigur, Sfera nu făcea decât să se ridice şi coboare prin câmpia plată a Flatland). Toate încercările Sferei de a le explica locuitorilor Flatland existenţa celei de-a treia dimensiuni au eşuat lamentabil. Ei pur şi simplu nu puteau înţelege că mai există şi altceva decât stânga-dreapta/faţă-spate. Ideea de “sus-jos” era imposibil de înţeles. În disperare de cauză, ea l-a smuls pe unul dintre curioşi, un pătrat, şi l-a transportat în lumea ei tri-dimensională, Spaceland (Tărâmul Spaţiului). De acolo, de sus, pătratul a putut admira propria lume, ce părea acum atât de limitată. La început pătratul a fost îngrozit. Totul era atât de nou şi înspăimântător. Apoi frica s-a transformat în revelaţie. Pătratul s-a simţit binecuvântat şi recunoscător pentru înţelepciunea pe care o primise. S-a prosternat în faţa sferei şi i-a jurat că, odată întors în Flatland, îşi va ajuta contemporanii să înţeleagă minunea celei de-a treia dimensiuni. Întors acasă, pătratul s-a ţinut de cuvânt. Şi-a dedicat toată energia şi inteligenţa încercând să aducă “lumina” în minţile locuitorilor din Flatland. Din păcate însă, nimeni nu a reuşit să îl înţeleagă. A fost considerat nebun şi respins de comunitate. De aici idea că fiecare dintre noi suntem blocaţi în “Flatland-ul” propriilor vieţi şi pur şi simplu uităm că mai există şi alte lucruri care merită explorate.
Activităţi pentru elevi:
  1. Împărțiti clasa în perechi, o persoană joacă rolul Pătratului și cealaltă regele din Lineland (ţară cu o singură dimensiune). Pătratul trebuie să încerce să convingă regele că există a doua dimensiune.
  2. Schimbaţi rolul persoanelor din pereche, una jucând rolul pătratului şi cealaltă rolul sferei din poveste. Sfera trebuie să încerce să convingă pătratul că există a treia dimensiune.
  3. Când sfera coboară în Flatland, ea apare pentru Pătrat ca o serie de cercuri rezultate din intersecţia cu un plan. Încercați să descrieţi din acest punct de vedere, modul cum ar putea să pară un alt personaj tridimensional. De exemplu un cub, un tetraedru regulat, sau un con.








miercuri, 27 aprilie 2016

„Limba și gramatica” matematicii

Un fenomen remarcabil este acela prin care copiii pot să învețe să vorbească fără a fi conștienţi de gramatica sofisticată pe care o folosesc. Adulții de asemenea pot trăi o viață satisfăcătoare fără să se gândească ce părți de vorbire, subiecte, predicate sau propoziţii subordonate au folosit.Atât copiii cât și adulții pot recunoaște însă cu ușurință greşeli care nu respectă regulile gramaticale, iar pentru a face acest lucru nu este necesar fie capabili să explice regulile care au fost încălcate.
Cu toate acestea, nu există nici o îndoială că înțelegerea unui limbaj se consolidează printr-o cunoaștere a unei gramatici de bază a respectivului limbaj.Același lucru este valabil şi pentru limbajul matematic. Principalul motiv pentru care gramatica matematicii este importantă este că situațiile din matematică ar trebui să fie precise şi nu este posibilă atingerea unui nivel înalt de precizie fără o bună cunoaştere a acesteia. Matematica este implicată în mai toate domeniile vieţii noastre personale, sociale, culturale etc. 

marți, 19 aprilie 2016

Matematica si viata noastra

Larga utilizare a matematicii în diverse domenii a dus la estomparea distincţiilor tradiţionale între ramurile ştiinţelor, între metodele lor de investigare, transformând matematica într-o disciplină nucleu. Iată pentru ce matematica nu este doar o componentă a culturii universale, ci şi un instrument de investigaţie în multiple domenii ale realităţii.
Astfel momentul Brâncuşi, constituie pentru aria specifică a întreprinderilor ştiinţă-artă-tehnică un domeniu cu fecunde reflecţii. Întâlnim o multiplă relaţie intuitivă cu ştiinţele, analizând determinările de structură matematică repetitivă ale Coloanei, seria muzelor adormite, cele şase variante ale Domnişoarei Pogany – constituie un mic tratat în viziuni plastico-matematice despre ovoid. Arta populară românească dovedeşte o înclinaţie spre o abstracţie geometrică. Geometrismul a fost după cum se ştie una dintre sursele atracţiei  româneşti asupra lui Matisse.
Arhitectura modernă-sinteză între artă şi ştiinţă-foloseşte ca elemente ale frumosului-curbele-reprezentări ale unor expresii matematice. Pătrunderea computerului în creaţia artistică – în plastică, muzică, poezie şi film, dobândeşte funcţii de tot mai mare fineţe şi exactitate.
Acestea sunt câteva interrelaţii "imposibile" la prima vedere a matematicii în marea aventură a cunoaşterii, alături de celelalte domenii ale cunoaşterii cu care matematica se întrepătrunde-fizica-biologia-istoria etc.